Ортағасырлық математик Леонардо Фибоначчидің қояндар туралы мәселесі

2024 Автор: Malcolm Clapton | [email protected]. Соңғы өзгертілген: 2023-12-17 04:02

Келесі жылдың басына қарай бір жұп жануардың қандай төл беретінін есептеңіз.

Леонардо Фибоначчи ортағасырлық көрнекті математик болды. Ол араб цифрларын қолданысқа енгізген деген пікір бар. Ондық арифметиканы түсіндіретін және насихаттайтын «Абакус кітабында» Фибоначчи өзінің атақты қоян мәселесін береді. Оны шешуге тырысыңыз.

Қаңтар айының басында бір жұп жаңа туған қояндар (еркек және аналық) барлық жағынан қоршалған қораға орналастырылды. Келесі жылдың басына қарай олар қанша жұп қоян береді? Келесі шарттарды ескеру қажет:

• Қояндар туылғаннан кейін екі айдан кейін жыныстық жетілуге жетеді, яғни өмірдің үшінші айының басында.
• Әр айдың басында жыныстық жетілген әрбір жұп тек бір жұпты дүниеге әкеледі.
• Жануарлар әрқашан «бір аналық + бір аталық» жұп болып туады.
• Қояндар өлмейді, жыртқыштар оларды жей алмайды.

Алғашқы алты айда қояндардың саны қалай өсетінін көрейік:

1-ай. Бір жұп жас қояндар.

2-ай. Әлі бір түпнұсқа жұп бар. Қояндар әлі бала туатын жасқа жетпеген.

3-ай. Екі жұп: бала туатын жасына жеткен түпнұсқа + өзі тудырған жас қояндар.

4-ай. Үш жұп: бір түп жұп + айдың басында туған бір жұп қоян + үшінші айда туған, бірақ әлі балиғат жасына жетпеген бір жұп қоян.

5-ай. Бес жұп: бір түп жұп + үшінші айда туылған және бала туатын жасына жеткен бір жұп + өздері туылған екі жаңа жұп + төртінші айда туылған, бірақ әлі кәмелеттік жасқа толмаған бір жұп.

6 ай. Сегіз жұп: өткен айда бес жұп + жаңа туған үш жұп. Тағыда басқа.

Түсінікті болу үшін алынған мәліметтерді кестеге жазайық:

Кестені мұқият қарасаңыз, келесі үлгіні анықтауға болады. Әр жолы n-ші айда бар қояндар саны алдыңғы айдағы (n - 1) қояндар санына тең, жаңа туған қояндар санымен қорытындыланады. Олардың саны өз кезегінде (n - 2) айдағы (бұл екі ай бұрын болған) малдың жалпы санына тең. Осы жерден формуланы шығаруға болады:

Ф = F_{n - 1}+ Ф_{n - 2}, онда Ф - n-ші айдағы қоян жұптарының жалпы саны, Ф_{n - 1} алдыңғы айдағы қоян жұптарының жалпы саны және F_{n - 2} - екі ай бұрынғы қоян жұптарының жалпы саны.

Оны пайдаланып келесі айлардағы жануарлардың санын есептейік:

7-ай. 8 + 5 = 13.

8-ай. 13 + 8 = 21.

9-ай. 21 + 13 = 34.

10-ай. 34 +21 = 55.

11-ай. 55 + 34 = 89.

12 ай. 89 + 55 = 144.

13 ай (келесі жылдың басы). 144 + 89 = 233.

13-ші айдың басында, яғни жыл соңында бізде 233 жұп қоян болады. Оның 144-і ересектер болса, 89-ы жастар болмақ. Алынған 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 тізбегі Фибоначчи сандары деп аталады. Онда әрбір жаңа соңғы сан алдыңғы екі санның қосындысына тең.

Жауапты көрсету Жауапты жасыру