Жалаңаш статистика - ең қызық ғылым туралы ең қызықты кітап

2024 Автор: Malcolm Clapton | [email protected]. Соңғы өзгертілген: 2023-12-17 04:02

Статистиканы түтіккен және пайдасыз ғылым деп кім айтты? Чарльз Уилан бұл жағдайдан алыс екенін сенімді түрде дәлелдейді. Бүгін біз оның кітабынан статистиканы пайдалана отырып, ешкі емес, көлік ұтып алу туралы үзінді жариялап, интуиция сізді адастыруы мүмкін екенін түсінеміз.

Монти Холл жұмбағы

Монти Холл құпиясы - 1963 жылы Америка Құрама Штаттарында тұсауы кесілген, бірнеше елдерде әлі де танымал болған «Мәміле жасайық» атты ойын шоуына қатысушыларды таң қалдырған ықтималдық теориясындағы әйгілі мәселе. (Бала күнімде бұл шоуды көрген сайын, ауруға байланысты мектепке бармағаным есімде.) Кітаптың кіріспесінде бұл ойын-шоудың статистика мамандары үшін қызықты болуы мүмкін екенін атап өткен болатынмын. Әр шығарылымның соңында финалға шыққан қатысушы Монти Холлмен бірге үш үлкен есіктің алдында тұрды: №1 есік, №2 есік және №3 есік. Монти Холл финалистке бір есіктің артында екенін түсіндірді. Бұл есіктердің ішінде өте бағалы сыйлық болды - мысалы, жаңа көлік пен қалған екеуінің артында ешкі. Финалға шыққан адам есіктердің бірін таңдап, оның артында тұрған нәрсені алуы керек еді. (Шоу қатысушыларының арасында ешкі алғысы келетін кем дегенде бір адам болды ма, білмеймін, бірақ қарапайымдылық үшін қатысушылардың басым көпшілігі жаңа көлікті армандаған деп болжаймыз).

Жеңістің бастапқы ықтималдығын анықтау өте оңай. Үш есік бар, екеуі ешкіні, үшіншісі көлікті жасырады. Шоуға қатысушы Монти Холлмен бірге осы есіктердің алдында тұрғанда, оның артында көлік орналасқан есікті таңдау мүмкіндігінің үштен бірі болады. Бірақ, жоғарыда айтылғандай, «Мәміле жасайық» фильмінде ықтималдықтар теориясы бойынша әдебиетте осы телебағдарламаны және оның жүргізушісін мәңгілікке қалдырған бір нәрсе бар. Шоу финалисті үш есіктің біріне нұсқаған соң, Монти Холл қалған екі есіктің бірін ашады, оның артында әрқашан ешкі тұрады. Содан кейін Монти Холл финалисттен өз ойын өзгерткісі келетінін, яғни бұрын таңдалған жабық есікті басқа жабық есіктің пайдасына тастағысы келетінін сұрайды.

Мысал үшін, қатысушы №1 есікті көрсетті делік. Содан кейін Монти Холл ешкі жасырынып тұрған №3 есікті ашты. Екі есік, №1 есік және №2 есік жабық күйінде қалады. Егер бағалы жүлде No1 есіктің артында болса, финалист жеңіп алар еді, ал No2 есіктің артында болса, ұтылып қалар еді. Дәл осы кезде Монти Холл ойыншыдан өзінің бастапқы таңдауын өзгерткісі келетінін сұрайды (бұл жағдайда №1 есіктен №2 есіктің пайдасына бас тартыңыз). Сіз, әрине, екі есіктің әлі де жабық екенін есте ұстайсыз. Қатысушы алған жалғыз жаңа ақпарат - ешкі өзі таңдамаған екі есіктің бірінің артында қалды.

Финалист №2 есіктің пайдасына бастапқы таңдаудан бас тартуы керек пе?

Мен жауап беремін: иә, керек. Егер ол бастапқы таңдауды ұстанатын болса, онда бағалы жүлдені ұтып алу ықтималдығы ⅓ болады; егер ол өз ойын өзгертіп, №2 есікті көрсетсе, онда бағалы жүлдені ұтып алу ықтималдығы ⅔ болады. Маған сенбесеңіз, оқыңыз.

Мен бұл жауаптың бір қарағанда анық емес екенін мойындаймын. Финалист қалған екі есіктің қайсысын таңдаса да, екі жағдайда да бағалы сыйлық алу ықтималдығы ⅓ болатын сияқты. Үш жабық есік бар. Бастапқыда олардың кез келгенінің артында бағалы сыйлық жасырылған болу ықтималдығы ⅓. Финалшының өз таңдауын басқа жабық есіктің пайдасына өзгерту туралы шешімі қандай да бір айырмашылықты тудырады ма?

Әрине, Монти Холл әр есіктің артында не тұрғанын біледі. Егер финалист №1 есікті таңдаса және оның артында шынымен көлік тұрса, Монти Холл оның артында жасырынып жатқан ешкіні көрсету үшін №2 немесе №3 есікті аша алады.

Егер финалист 1-ші есікті таңдаса және көлік 2-есіктің артында болса, онда Монти Холл 3-ші есікті ашады.

Егер финалист 1-есікті көрсетсе және көлік 3-есіктің артында болса, онда Монти Холл 2-ші есікті ашады.

Баяндамашы есіктердің бірін ашқаннан кейін өз ойын өзгерту арқылы финалист бір есіктің орнына екі есікті таңдау артықшылығына ие болады. Мен сізді бұл талдаудың дұрыстығына үш түрлі жолмен сендіруге тырысамын.

Біріншісі эмпирикалық. 2008 жылы New York Times шолушысы Джон Тайерни Монти Холл феномені туралы жазды. Осыдан кейін басылым қызметкерлері осы ойынды ойнауға және бастапқы таңдауыңызды өзгерту немесе өзгертуге өз бетінше шешім қабылдауға мүмкіндік беретін интерактивті бағдарлама әзірледі. (Бағдарламада тіпті есіктің арғы жағынан көрінетін кішкентай ешкілер мен кішкентай көліктер де қарастырылған.) Бағдарлама сіздің таңдауыңызды өзгерткен жағдайда және сенімсіз болған жағдайда сіздің ұтыстарыңызды жазады. Мен қыздарымның біріне осы ойынды 100 рет ойнау үшін төледім, әр жолы оның бастапқы таңдауын өзгерттім. Мен оның ағасына да ойынды 100 рет ойнауға төледім, әр жолы бастапқы шешімді сақтай отырып. Қызы 72 рет жеңіске жетті; ағасы 33 рет. Әрбір әрекет екі доллармен марапатталды.

«Мәміле жасайық» ойынының эпизодтары дәл осындай үлгіні көрсетеді. «Маскүнемдік серуен» кітабының авторы Леонард Млодиновтың айтуынша, бастапқы таңдауын өзгерткен финалға шыққандардың жеңіске жету ықтималдығы сенімсіздерге қарағанда екі есе көп болды.

Бұл құбылыстың екінші түсіндірмесі интуицияға негізделген. Ойын ережесі аздап өзгерді делік. Мысалы, финалист үш есіктің бірін таңдаудан бастайды: №1 есік, №2 есік және бастапқыда жоспарланғандай №3 есік. Алайда, артында ешкі жасырынып жатқан есіктердің кез келгенін ашпас бұрын, Монти Холл: «Қалған екі есікті ашқаныңыз үшін таңдауыңыздан бас тартуға келісесіз бе?» деп сұрайды. Сонымен, егер сіз №1 есікті таңдасаңыз, өз ойыңызды №2 есік пен №3 есіктің пайдасына өзгерте аласыз. Егер сіз №3 есікті бірінші рет көрсетсеңіз, №1 есік пен №2 есікті таңдай аласыз және т.б.

Бұл сіз үшін аса қиын шешім болмас еді: қалған екі есіктің пайдасына бастапқы таңдаудан бас тартуыңыз керек екені анық, өйткені бұл жеңіске жету мүмкіндігін ⅓-ден ⅔-ке дейін арттырады. Ең қызығы, дәл осы Монти Холл ешкі жасырынып жатқан есікті ашқаннан кейін сізге нағыз ойында ұсынады. Негізгі факт, егер сізге екі есік таңдау мүмкіндігі берілсе, бәрібір ешкі олардың біреуінің артына жасырынатын еді. Монти Холл ешкі тұрған есікті ашқанда, содан кейін ғана сізден бастапқы таңдауыңызды өзгертуге келісесіз бе деп сұрағанда, бұл сіздің бағалы жүлдені ұтып алу мүмкіндігіңізді айтарлықтай арттырады! Негізінде, Монти Холл сізге: «Сіз бірінші рет таңдамаған екі есіктің бірінің артына жасырынған бағалы жүлденің мүмкіндігі ⅔, бұл әлі де ⅓ артық!» дейді.

Сіз мұны осылай елестете аласыз. Сіз №1 есікті көрсеттіңіз делік. Осыдан кейін Монти Холл сізге №2 есік пен №3 есіктің пайдасына бастапқы шешімнен бас тартуға мүмкіндік береді. Сіз келісесіз және сізде екі есік бар, яғни сізде бар дегенді білдіреді. кез келген себеп ⅓ емес, ⅔ ықтималдығы бар бағалы жүлдені ұтып алуды күтеді. Егер дәл осы сәтте Монти Холл 3-ші есікті – «сіздің» есіктеріңіздің бірін ашса, оның артында ешкі тұрса, не болар еді? Бұл факт сіздің шешіміңізге деген сеніміңізді сейілтеді ме? Әрине жоқ. Егер көлік 3-есіктің артына тығылса, Монти Холл 2-ші есікті ашар еді! Ол саған ештеңе көрсетпеді.

Ойын нокдаун сценарийі бойынша ойналғанда, Монти Холл шынымен сіз басында көрсеткен есік пен қалған екі есік арасында таңдау мүмкіндігін береді, олардың бірі көлік болуы мүмкін. Монти Холл ешкі жасырынып жатқан есікті ашқанда, ол сізге басқа екі есіктің қайсысы көлік емес екенін көрсету арқылы жай ғана жақсылық жасайды. Келесі сценарийлердің екеуінде де жеңу ықтималдығы бірдей.

1. №1 есікті таңдап, одан кейін кез келген есік ашылмай тұрып, №2 және №3 есікке «ауысуға» келісесіз.
2. №1 есікті таңдап, содан кейін Монти Холл №3 есіктің артындағы ешкіні көрсеткеннен кейін №2 есікке "ауысуға" келісесіз (немесе Монти Холл №2 есіктің артындағы ешкіні көрсеткеннен кейін № 3 есікті таңдау).

Екі жағдайда да бастапқы шешімнен бас тарту сізге бір есіктен екі есіктің артықшылығын береді және осылайша ұтып алу мүмкіндігін ⅓-ден ⅔-ке дейін екі есе арттыра аласыз.

Менің үшінші нұсқам - сол негізгі интуицияның түбегейлі нұсқасы. Монти Холл 100 есіктің біреуін таңдауды сұрайды делік (үш есіктің орнына). Мұны істегеннен кейін, №47 есікті көрсетіп, ол ешкілерді ашатын қалған 98 есікті ашады. Енді тек екі есік жабық қалды: сіздің №47 есік және екіншісі, мысалы, №61 есік. Бастапқы таңдаудан бас тарту керек пе?

Әрине Иә! Бастапқыда сіз таңдамаған есіктердің біреуінің артында көліктің болуы 99 пайыздық ықтималдығы бар. Монти Холл осы есіктердің 98-ін ашып, сыпайылық танытты, олардың артында көлік болмады. Осылайша, сіздің бастапқы таңдауыңыздың (№ 47 есік) дұрыс болатынына 100-ден 1 ғана мүмкіндік бар. Сонымен қатар, сіздің бастапқы таңдауыңыздың қате болуының 100-ден 99 ықтималдығы бар. Егер солай болса, онда көлік қалған есіктің артында орналасқан, яғни No61 есік. Егер сіз 100-ден 99 рет ұту ықтималдығымен ойнағыңыз келсе, онда сіз No61 есікке «ауысыңыз».

Қысқасы, егер сізге «Мәміле жасайық» ойынын ойнауға тура келсе, Монти Холл (немесе оның орнын басқаратын адам) сізге таңдау бергенде, міндетті түрде бастапқы шешіміңізден қайтуға тура келеді. Бұл мысалдан әмбебап қорытынды - белгілі бір оқиғалардың ықтималдығы туралы интуитивті болжамдарыңыз кейде сізді жаңылыстыруы мүмкін.